Perenialistas

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====== CANTIDADES VARIABLES Y CANTIDADES FIJAS ======
//[[guenon:rgpci:start|PRINCÍPIOS DO CÁLCULO INFINITESIMAL]]//



Volvamos ahora a la cuestión de la justificación del rigor del cálculo infinitesimal: hemos visto ya que Leibnitz considera como iguales las cantidades cuya diferencia, sin ser nula, es incomparable a esas cantidades mismas; en otros términos, las cantidades infinitesimales, que no siendo «nihila absoluta», son no obstante «nihila respectiva», y, como tales, deben ser desdeñadas al respecto de las cantidades ordinarias. Desafortunadamente, la noción de los «incomparables» permanece demasiado imprecisa como para que un razonamiento que no se apoya más que sobre esta noción pueda bastar plenamente para establecer el carácter riguroso del cálculo infinitesimal; bajo este aspecto, este cálculo no se presenta en suma más que como un método de aproximación indefinida, y nosotros no podemos decir con Leibnitz que, «sentado eso, no sólo se sigue que el error es indefinidamente pequeño, sino que es enteramente nulo» (Fragmento fechado el 26 de marzo de 1676); pero, ¿no habría otro medio más riguroso de llegar a esta conclusión? En todo caso, debemos admitir que el error introducido en el cálculo puede hacerse tan pequeño como se quiera, lo que ya es mucho; pero, ¿no se suprime completamente este carácter infinitesimal del error precisamente cuando se considera, no ya el curso mismo del cálculo, sino los resultados a los que permite llegar finalmente?

Una diferencia infinitesimal, es decir, indefinidamente decreciente, no puede ser más que la diferencia de dos cantidades variables, ya que es evidente que la diferencia de dos cantidades fijas no puede ser en sí misma más que una cantidad fija; así pues, la consideración de una diferencia infinitesimal entre dos cantidades fijas no podría tener ningún sentido. Desde entonces, tenemos el derecho de decir que dos cantidades fijas «son rigurosamente iguales entre sí desde el momento en que su diferencia pretendida puede suponerse tan pequeña como se quiera» (Carnot, Réflexions sur la Métapysique du Calcul infinitésimal, p 29); ahora bien, «el cálculo infinitesimal, como el cálculo ordinario, no tiene en vista realmente más que cantidades fijas y determinadas» (Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, Prefacio, p VIII ); en suma, no introduce las cantidades variables más que a título de auxiliares, con un carácter puramente transitorio, y estas variables deben desaparecer de los resultados, que no pueden expresar más que relaciones entre cantidades fijas. Así pues, para obtener estos resultados es menester pasar de la consideración de las cantidades variables a la de las cantidades fijas; y este paso tiene por efecto precisamente eliminar las cantidades infinitesimales, que son esencialmente variables, y que no pueden presentarse más que como diferencias entre cantidades variables.

Ahora es fácil comprender por qué Carnot, en la definición que hemos citado precedentemente, insiste sobre la propiedad que tienen las cantidades infinitesimales, tales como se emplean en el cálculo, de poder hacerse tan pequeñas como se quiera «sin que se esté obligado por eso a hacer variar las cantidades cuya relación se busca». Es porque, en realidad, éstas últimas deben ser cantidades fijas; es cierto que, en el cálculo, se consideran como límites de cantidades variables, pero éstas no juegan más que el papel de simples auxiliares, del mismo modo que las cantidades infinitesimales que introducen con ellas. Para justificar el rigor del cálculo infinitesimal, el punto esencial es que, en los resultados, no deben figurar más que cantidades fijas; así pues, en definitiva, al término del cálculo, es menester pasar de las cantidades variables a las cantidades fijas, y eso es en efecto un «paso al límite», pero concebido de modo muy diferente a como lo hacía Leibnitz, puesto que no es una consecuencia o un «último término» de la variación misma; ahora bien, y eso es lo más importante, las cantidades infinitesimales, en este paso, se eliminan por sí mismas, y eso simplemente en razón de la sustitución de las cantidades variables por las cantidades fijas (Cf Ch. de Freycinet, ibid, p 220: «Las ecuaciones llamadas "imperfectas" por Carnot son, hablando propiamente, ecuaciones de espera o de transición, que son rigurosas en tanto que no se las haga servir más que al cálculo de los límites, y que, al contrario, serían absolutamente inexactas, si los límites no debieran alcanzarse efectivamente. Basta haber presentado al espíritu el destino efectivo de los cálculos, para no sentir ninguna incertidumbre sobre el valor de las relaciones por las que se pasa. Es menester ver en cada una de ellas, no lo que parece expresar actualmente, sino lo que expresará más adelante, cuando se llegue a los límites»).

¿Es menester, no obstante, no ver en esta eliminación, como lo querría Carnot, más que el efecto de una simple «compensación de errores»? No lo pensamos así, y parece que, en realidad, se puede ver en eso algo más, desde que se hace la distinción de las cantidades variables y de las cantidades fijas como constituyendo en cierto modo dos dominios separados, entre los cuales existe sin duda una correlación y una analogía, lo que, por lo demás, es necesario para que se pueda pasar efectivamente del uno al otro, de cualquier manera que se efectúe este paso, pero sin que sus relaciones reales puedan establecer nunca entre ellos una interpretación o incluso una continuidad cualquiera; por lo demás, entre estas dos especies de cantidades, eso implica una diferencia de orden esencialmente cualitativo, conformemente a lo que hemos dicho más atrás al respecto de la noción del límite. Es esta distinción la que Leibnitz no ha hecho nunca claramente, y, aquí también, es sin duda su concepción de una continuidad universalmente aplicable la que se lo ha impedido; Leibnitz no podía ver que el «paso al límite» implica esencialmente una discontinuidad, puesto que, para él, no había discontinuidad en ninguna parte. Sin embargo, esta distinción es la única que nos permite formular la proposición siguiente: si la diferencia de dos cantidades variables puede hacerse tan pequeña como se quiera, las cantidades fijas que corresponden a estas variables, y que se consideran como sus límites respectivos, son rigurosamente iguales. Así, una diferencia infinitesimal no puede devenir nunca nula, pero no puede existir más que entre variables, y, entre las cantidades fijas correspondientes, la diferencia debe ser nula; de ahí, resulta inmediatamente que un error que puede hacerse tan pequeño como se quiera en el dominio de las cantidades variables, donde no puede tratarse efectivamente, en razón del carácter mismo de estas cantidades, de nada más que de una aproximación indefinida, corresponde necesariamente a un error rigurosamente nulo en el dominio de las cantidades fijas; es únicamente en eso, y no en otras consideraciones que, cualesquiera que sean, están siempre más o menos fuera o al lado de la cuestión, donde reside esencialmente la verdadera justificación del rigor del cálculo infinitesimal.