Perenialistas

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====== INDEFINIDAMENTE CRECIENTE E INDEFINIDAMENTE DECRECIENTE ======



Antes de continuar el examen de las cuestiones que se refieren propiamente al continuo, debemos volver de nuevo sobre lo que se ha dicho más atrás de la inexistencia de una «fractio omnium infima», lo que nos permitirá ver cómo la correlación o la simetría que existe bajo ciertos aspectos entre las cantidades indefinidamente crecientes y las cantidades indefinidamente decrecientes es susceptible de ser representada numéricamente. Hemos visto que, en el dominio de la cantidad discontinua, en tanto que no se tenga que considerar más que la sucesión de los números enteros, éstos deben ser mirados como creciendo indefinidamente a partir de la unidad, pero que, puesto que la unidad es esencialmente indivisible, evidentemente no puede plantearse un decrecimiento indefinido; si se tomaran los números en el sentido decreciente, uno se encontraría detenido necesariamente en la unidad misma, de suerte que la representación de lo indefinido por los números enteros está limitada a un solo sentido, que es el de lo indefinidamente creciente. Por el contrario, cuando se trata de la cantidad continua, se pueden considerar cantidades tanto indefinidamente decrecientes como indefinidamente crecientes; y la misma cosa se produce en la cantidad discontinua misma tan pronto como, para traducir esta posibilidad, se introduce en ella la consideración de los números fraccionarios. En efecto, se puede considerar una sucesión de fracciones que decrecen indefinidamente, es decir, que por pequeña que sea una fracción, siempre se puede formar una más pequeña que ella, y este decrecimiento no puede desembocar nunca en una «fractio minima», como tampoco el crecimiento de los números enteros puede desembocar nunca en un «numerus maximus».

Para hacer evidente, por la representación numérica, la correlación de lo indefinidamente creciente y de lo indefinidamente decreciente, basta considerar, al mismo tiempo que la sucesión de los números enteros, la de sus números inversos: se dice que un número es inverso de otro cuando su producto por éste es igual a la unidad, y por esta razón, el inverso del número n se representa por la notación 1/n° Mientras que la sucesión de los números enteros va creciendo indefinidamente a partir de la unidad, la sucesión de sus inversos va decreciendo continuamente a partir de esa misma unidad, que es ella misma su propio inverso, y que es así el punto de partida común de las dos series; a cada número de una de las series le corresponde un número de la otra e inversamente, de suerte que estas dos series son igualmente indefinidas, y que lo son exactamente de la misma manera, aunque en sentido contrario. El inverso de un número es evidentemente tanto más pequeño cuanto más grande es ese número, puesto que su producto permanece siempre constante; por grande que sea un número N, el número N+1 será todavía más grande, en virtud de la ley misma de formación de la serie indefinida de los números enteros; y del mismo modo, por pequeño que sea un número 1/N, el número 1/N+1 será todavía más pequeño; es lo que prueba concretamente la imposibilidad del «más pequeño de los números», cuya noción no es menos contradictoria que la del «más grande de los números», ya que, si no es posible detenerse en un número determinado en el sentido creciente, no lo será tampoco detenerse en el sentido decreciente. Por otra parte, como esta correlación que se observa en el continuo numérico se presenta primero como una consecuencia de la aplicación de este discontinuo al continuo, así como lo hemos dicho cuando hemos hablado de los números fraccionarios, cuya introducción supone naturalmente, no puede más que traducir a su manera, condicionada necesariamente por la naturaleza del número, la correlación que existe, en el continuo mismo, entre lo indefinidamente creciente y lo indefinidamente decreciente. Así pues, cuando se consideran las cantidades continuas como susceptibles de devenir tan grandes y tan pequeñas como se quiera, es decir, más grandes y más pequeñas que toda cantidad determinada, hay lugar a observar siempre la simetría, y, se podría decir, en cierto modo el paralelismo que ofrecen entre sí estas dos variaciones inversas; esta precisión nos ayudará a comprender mejor, a continuación, la posibilidad de los diferentes órdenes de cantidades infinitesimales.

Es bueno precisar que, aunque el símbolo 1/n evoca la idea de los números fraccionarios, y aunque de hecho saca incontestablemente su origen de ellos, no es necesario que los inversos de los números enteros sean definidos aquí como tales, y esto con el fin de evitar el inconveniente que presenta la noción ordinaria de los números fraccionarios desde el punto de vista propiamente aritmético, es decir, la concepción de las fracciones como «partes de la unidad». En efecto, basta considerar las dos series como constituidas por números respectivamente más grandes y más pequeños que la unidad, es decir, como dos órdenes de magnitudes que tienen en ésta su común límite, al mismo tiempo que pueden ser consideradas la una y la otra como salidas igualmente de esta unidad, que es verdaderamente la fuente primera de todos los números; además, si se quisieran considerar estos dos conjuntos indefinidos como formando una sucesión única, se podría decir que la unidad ocupa exactamente el medio en esta sucesión de los números, puesto que, como lo hemos visto, hay exactamente tantos números en uno de estos conjuntos como en el otro. Por otra parte, si, para generalizar más, se quisiera introducir los números fraccionarios propiamente dichos, en lugar de considerar sólo la serie de los números enteros y la de sus inversos, no habría cambiado nada en cuanto a la simetría de las cantidades crecientes y de las cantidades decrecientes: se tendrían por un lado todos los números más grandes que la unidad, y por el otro todos los números más pequeños que la unidad; aquí también, a todo número a/b maior 1, le correspondería en el otro grupo un número b/a maior 1, y recíprocamente, de tal manera que a/bxb/a=1, del mismo modo que se tenía hace un momento nx1/n=1, y así siempre habría exactamente los mismos números en uno y otro de estos dos grupos indefinidos separados por la unidad; por lo demás, debe entenderse bien que, cuando nosotros decimos «los mismos números», eso significa que hay dos multitudes que se corresponden término a término, pero sin que esas multitudes mismas puedan considerarse de ninguna manera por eso como «numerables». En todos los casos, el conjunto de dos números inversos, al multiplicarse el uno por el otro, reproduce siempre la unidad de la que han salido; se puede decir también que la unidad, al ocupar el medio entre los dos grupos, y al ser el único número que puede considerarse como perteneciendo a la vez al uno y al otro (Según la definición de los números inversos, la unidad se presenta por un lado bajo la forma 1 y por otro bajo la forma 1/1, de tal suerte que 1x1/1=1; pero, como por otra parte 1/1=1, es la misma unidad la que se representa bajo dos formas diferentes, y la que, por consiguiente, como lo decíamos más atrás, es ella misma su propio inverso), de suerte que, en realidad, sería más exacto decir que los une más bien que los separa, corresponde al estado de equilibrio perfecto, y que contiene en sí misma todos los números, que han salido de ella por parejas de números inversos o complementarios, constituyendo cada una de estas parejas, por el hecho mismo de este complementarismo, una unidad relativa en su indivisible dualidad (Decimos indivisible porque, desde que existe uno de los dos números que forman tal pareja, el otro existe también necesariamente por eso mismo); pero volveremos un poco más adelante sobre esta última consideración y sobre las consecuencias que implica.

En lugar de decir que la serie de los números enteros es indefinidamente creciente y la de sus inversos indefinidamente decreciente, se podría decir también, en el mismo sentido, que los números tienden así por una parte hacia lo indefinidamente grande y por la otra hacia lo indefinidamente pequeño, a condición de entender por esto los límites mismos del dominio en el cual se consideran estos números, ya que una cantidad variable no puede tender más que hacia un límite. En suma, el dominio del que se trata es el de la cantidad numérica considerada en toda la extensión de la que es susceptible (No hay que decir que los números inconmensurables, bajo la relación de la magnitud, se intercalan necesariamente entre los números ordinarios, enteros o fraccionarios según sean más grandes o más pequeños que la unidad; es lo que muestra, por lo demás, la correspondencia geométrica que hemos indicado precedentemente, y también la posibilidad de definir un tal número por dos conjuntos convergentes de números conmensurables de los que es el límite común); esto equivale a decir también que sus límites no están determinados por tal o cual número particular, por grande o por pequeño que se le suponga, sino por la naturaleza misma del número como tal. Es por eso mismo de que el número, como cualquier otra cosa de naturaleza determinada, excluye todo lo que no es él, por lo que aquí no puede tratarse de ninguna manera de infinito; por lo demás, acabamos de decir que lo indefinidamente grande debe concebirse forzosamente como un límite, aunque no sea de ninguna manera un «terminus ultimus» de la serie de los números, y se puede destacar a este propósito que la expresión «tender al infinito», empleada frecuentemente por los matemáticos en el sentido de «crecer indefinidamente», es también una absurdidad, puesto que el infinito implica evidentemente la ausencia de todo límite, y puesto que, por consiguiente, no habría nada en él hacia lo que sea posible tender. Lo que es bastante singular también, es que algunos, aunque reconocen la incorrección y el carácter abusivo de esta expresión «tender al infinito», no sienten por otra parte ningún escrúpulo en tomar la expresión «tender hacia cero» en el sentido de «decrecer indefinidamente»; sin embargo, cero, o la «cantidad nula», es exactamente simétrico, en relación a las cantidades decrecientes, de lo que es la pretendida «cantidad infinita» en relación a las cantidades crecientes; pero tendremos que volver después sobre las cuestiones que se plantean más particularmente sobre el tema del cero y de sus diferentes significaciones.

Puesto que la sucesión de los números, en su conjunto, no está «terminada» por un cierto número, resulta de ello que no hay número, por grande que sea, que pueda ser identificado a lo indefinidamente grande en el sentido en el que acabamos de entenderlo; y, naturalmente, la misma cosa es igualmente verdad en lo que concierne a lo indefinidamente pequeño. Sólo se puede considerar un número como prácticamente indefinido, si es permisible expresarse así, cuando ya no puede ser expresado por el lenguaje ni representado por la escritura, lo que, de hecho, ocurre inevitablemente en un momento dado cuando se consideran números que van siempre creciendo o decreciendo; eso, si se quiere, es una simple cuestión de «perspectiva», pero eso mismo concuerda en suma con el carácter de lo indefinido, en tanto que éste no es otra cosa, en definitiva, que aquello cuyos límites no pueden ser suprimidos, puesto que eso sería contrario a la naturaleza misma de las cosas, sino simplemente alejados hasta llegar a ser enteramente perdidos de vista. A este propósito, habría lugar a plantearse algunas cuestiones bastante curiosas: así, uno podría preguntarse por qué la lengua china representa simbólicamente lo indefinido por el número diez mil; la expresión «los diez mil seres», por ejemplo, significa todos los seres, que son realmente en multitud indefinida o «innumerable». Lo que es muy destacable, es que la misma cosa precisamente se produce también en griego, donde una sola palabra, con una simple diferencia de acentuación que no es evidentemente más que un detalle completamente accesorio, y que no se debe sin duda más que a la necesidad de distinguir en el uso las dos significaciones, sirve igualmente para expresar a la vez una y otra de estas dos ideas: mýrioi, diez mil; myríoi, una indefinidad. La verdadera razón de este hecho es ésta: este número diez mil es la cuarta potencia de diez; ahora bien, según la fórmula del Tao-te-King, «uno ha producido dos, dos ha producido tres, tres ha producido todos los números», lo que implica que cuatro, producido inmediatamente por tres, equivale de una cierta manera a todo el conjunto de los números, y eso porque, desde que se tiene el cuaternario, se tiene también, por la adición de los cuatro primeros números, el denario, que representa un ciclo numérico completo: 1+2+3+4=10, lo que es, como lo hemos dicho ya en otras ocasiones, la fórmula numérica de la Tétraktys pitagórica. Se puede agregar también que esta representación de la indefinidad numérica tiene su correspondencia en el orden espacial: se sabe que la elevación a una potencia superior de un grado representa, en ese orden, la agregación de una dimensión; ahora bien, puesto que nuestra extensión no tiene más que tres dimensiones, sus límites son rebasados cuando se va más allá de la tercera potencia, lo que, en otros términos, equivale a decir que la elevación a la cuarta potencia marca el término mismo de su indefinidad, puesto que, desde que se efectúa, se ha salido por eso mismo de esta extensión y pasado a otro orden de posibilidades.