Perenialistas

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====== LA NOCIÓN DEL LÍMITE ======



La noción del límite es una de las más importantes que tengamos que examinar aquí, ya que es de ella de quien depende todo el valor del método infinitesimal bajo el aspecto del rigor; incluso se ha podido llegar hasta decir que, en definitiva, «todo el cálculo infinitesimal reposa únicamente sobre la noción de límite, ya que es precisamente esta noción rigurosa la que sirve para definir y para justificar todos los símbolos y todas las fórmulas del cálculo infinitesimal» (L Couturat, De l'infini mathématique, Introducción, p XXIII ). En efecto, el objeto de este cálculo «se reduce a calcular límites de relaciones y límites de sumas, es decir, a encontrar los valores fijos hacia los cuales convergen relaciones o sumas de cantidades variables, a medida que éstas decrecen indefinidamente según una ley dada» (Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, Prefacio, p VIII ). Para más precisión todavía, diremos que, de las dos ramas en las que se divide el cálculo infinitesimal, el cálculo diferencial consiste en calcular los límites de relaciones cuyos dos términos van simultáneamente decreciendo indefinidamente según una cierta ley, de tal manera que la relación misma conserva siempre un valor finito y determinado; y el cálculo integral consiste en calcular los límites de sumas de elementos cuya multitud crece indefinidamente al mismo tiempo que el valor de cada uno de ellos decrece indefinidamente, ya que es menester que estas dos condiciones estén reunidas para que la suma misma permanezca siempre una cantidad finita y determinada. Dicho esto, de una manera general, se puede decir que el límite de una cantidad variable es otra cantidad considerada como fija, cantidad a la que la cantidad variable se supone que se aproxima, por los valores que toma sucesivamente en el curso de su variación, hasta diferir de ella tan poco como se quiera, o, en otros términos, hasta que la diferencia de estas dos cantidades deviene más pequeña que toda cantidad asignable. El punto sobre el que debemos insistir muy particularmente, por razones que se comprenderán mejor después, es que el límite se concibe esencialmente como un cantidad fija y determinada; aunque no estuviera dada por las condiciones del problema, se deberá comenzar siempre por suponerla un valor determinado, y continuar considerándola como fija hasta el fin del cálculo.
Pero una cosa es la concepción del límite en sí mismo, y otra la justificación lógica del «paso al límite»; Leibnitz estimaba que lo que justifica en general este «paso al límite», es que la misma relación que existe entre varias magnitudes variables subsiste entre sus límites fijos, cuando sus variaciones son continuas, ya que entonces alcanzan en efecto sus límites respectivos; eso es otro enunciado del «principio de continuidad» (L Couturat, De l'infini mathématique, p 268, nota. — Es el punto de vista que expone concretamente en la Justification du Calcul des infinitésimales par celui de l'Albèbre ordinaire). Pero toda la cuestión es saber precisamente si la cantidad variable, que se aproxima indefinidamente a su límite, y que, por consiguiente, puede diferir de él tan poco como se quiera, según la definición misma de límite, puede alcanzar efectivamente ese límite, por una consecuencia de su variación misma, es decir, si el límite puede ser concebido como el último término de una variación continua. Veremos que, en realidad, esta solución es inaceptable; por el momento, diremos solamente, sin perjuicio de volver sobre ello un poco más adelante, que la verdadera noción de la continuidad no permite considerar las cantidades infinitesimales como pudiendo igualarse nunca a cero, ya que entonces dejarían de ser cantidades; ahora bien, para Leibnitz mismo, deben guardar siempre el carácter de verdaderas cantidades, y eso incluso cuando se las considera como «evanescentes». Así pues, una diferencia infinitesimal no podrá ser nunca rigurosamente nula; por consiguiente, una variable, en tanto que se considere como tal, diferirá siempre realmente de su límite, y no podría alcanzarle sin perder por eso mismo su carácter de variable.
Sobre este punto, podemos pues aceptar enteramente, aparte una ligera reserva, las consideraciones que un matemático que ya hemos citado expone en estos términos: «Lo que caracteriza al límite tal como lo hemos definido, es a la vez que la variable pueda aproximarse a él tanto como se quiera, y no obstante que no pueda alcanzarle nunca rigurosamente; ya que, para que le alcance en efecto, sería menester la realización de una cierta infinitud, que nos está necesariamente prohibida… Así pues, uno debe atenerse a la idea de una aproximación indefinida, es decir, cada vez más grande» (Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, p 18). En lugar de hablar de «la realización de una cierta infinitud», lo que no podría tener para nosotros ningún sentido, diremos simplemente que sería menester que una cierta indefinidad fuera agotada en lo que ella tiene precisamente de inagotable, aunque, al mismo tiempo, las posibilidades de desarrollo que conlleva esta indefinidad permiten obtener una aproximación tan grande como se quiera, «ut error fiat minor dato», según la expresión de Leibnitz, para quien «el método es seguro» desde que se alcanza ese resultado. «Lo propio del límite y lo que hace que la variable no le alcance nunca exactamente, es tener una definición diferente de la de la variable; y la variable, por su lado, aunque se aproxima cada vez más al límite, no le alcanza, porque no debe dejar de satisfacer nunca a su definición primitiva, que, decimos, es diferente. La distinción necesaria entre las dos definiciones del límite y de la variable se encuentran por todas partes… Este hecho, de que las dos definiciones son lógicamente distintas y, no obstante, tales que los objetos definidos pueden aproximarse cada vez más el uno al otro (Sería más exacto decir que uno de ellos puede aproximarse cada vez más al otro, puesto que solo uno de esos objetos es variable, mientras que el otro es esencialmente fijo, y puesto que así, en razón misma de la definición del límite, su aproximación no puede considerarse de ninguna manera como constituyendo una relación recíproca y cuyos dos términos serían en cierto modo intercambiables; esta irreciprocidad implica por lo demás que su diferencia es de orden propiamente cualitativo), da cuenta de lo que parece tener de extraño, a primera vista, la imposibilidad de hacer coincidir nunca dos cantidades cuya diferencia se está seguro de poder hacer que disminuya más allá de toda expresión» (Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, p 19).
Apenas hay necesidad de decir que, en virtud de la tendencia a reducirlo todo exclusivamente a lo cuantitativo, no ha faltado el reproche, a esta concepción del límite, de haber introducido una diferencia cualitativa en la ciencia de las cantidades misma; pero, si fuera menester desecharla por esta razón, sería menester igualmente que en la geometría se prohibiera del todo, entre otras cosas, la consideración de la similitud, que es puramente cualitativa también, así como ya lo hemos explicado en otra parte, puesto que no concierne más que a la forma de las figuras haciendo abstracción de su magnitud, y por consiguiente, de todo elemento propiamente cuantitativo. Por lo demás, es bueno observar, a este propósito, que uno de los principales usos del cálculo diferencial es determinar las direcciones de las tangentes en cada punto de una curva, direcciones cuyo conjunto define la forma misma de la curva, y que dirección y forma son precisamente, en el orden espacial, elementos cuyo carácter es esencialmente cualitativo (Ver El Reino de la Cantidad y los Signos de los Tiempos, cap IV ). Además, no es una solución pretender suprimir pura y simplemente el «paso al límite», bajo pretexto de que el matemático puede dispensarse de pasar a él efectivamente, y porque eso no le molestará de ninguna manera para llevar su cálculo hasta el final; eso puede ser cierto, pero lo que importa es esto: ¿hasta qué punto, en estas condiciones, tendrá el derecho de considerar ese cálculo como reposando sobre un razonamiento riguroso, e, incluso si «el método es seguro» así, no será sólo en tanto que simple método de aproximación? Se podría objetar que la concepción que acabamos de exponer hace también imposible el «paso al límite», puesto que este límite tiene justamente como carácter no poder ser alcanzado; pero eso no es cierto más que en un cierto sentido, y sólo en tanto que se consideren las cantidades variables como tales, ya que no hemos dicho que el límite no pueda ser alcanzado de ninguna manera, sino, y eso es lo que es esencial precisar bien, que no podía ser alcanzado en la variación y como término de ésta. Lo que es verdaderamente imposible, es únicamente la concepción del «paso al límite» como constituyendo la consumación de una variación continua; así pues, debemos sustituir esta concepción por otra, y es lo que haremos más explícitamente a continuación.