Perenialistas

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====== LO INDEFINIDO ES INAGOTABLE ANALÍTICAMENTE ======



En los dos casos que acabamos de considerar, el de lo indefinidamente creciente y el de lo indefinidamente decreciente, una cantidad de un cierto orden puede ser considerada como la suma de una indefinidad de elementos, de los que cada uno es una cantidad infinitesimal en relación a esta suma. Por lo demás, para que se pueda hablar de cantidades infinitesimales, es necesario que se trate de elementos no determinados en relación a su suma, y ello es así desde que esta suma es indefinida en relación a los elementos de que se trata; eso resulta inmediatamente del carácter esencial de lo indefinido mismo, en tanto que éste implica forzosamente, como lo hemos dicho, la idea de un «devenir», y por consiguiente de una cierta indeterminación. Por lo demás, entiéndase bien que esta indeterminación puede no ser más que relativa y no existir más que bajo un cierto punto de vista o en relación a una cierta cosa: tal es por ejemplo el caso de una suma que, siendo una cantidad ordinaria, no es indefinida en sí misma, sino sólo en relación a sus elementos infinitesimales; pero en todo caso, si fuera de otro modo y si no se hiciera intervenir esta noción de indeterminación, seríamos conducidos simplemente a la concepción de los «incomparables», interpretada en el sentido grosero del grano de arena con respecto a la tierra, y de la tierra con respecto al firmamento.
La suma de la que hablamos aquí no puede ser efectuada en modo alguno a la manera de una suma aritmética, porque para eso sería menester que una serie indefinida de adiciones sucesivas pudiera ser acabada, lo que es contradictorio; en el caso donde la suma es una cantidad ordinaria y determinada como tal, es menester evidentemente, como ya lo hemos dicho al formular la definición del cálculo integral, que el número o más bien la multitud de los elementos crezca indefinidamente al mismo tiempo que la magnitud de cada uno de ellos decrece indefinidamente, y, en este sentido, la indefinidad de estos elementos es verdaderamente inagotable. Pero, si esta suma no puede ser efectuada de esta manera, como resultado final de una multitud de operaciones distintas y sucesivas, puede serlo por el contrario de un solo golpe y por una operación única, que es la integración (Los términos «integral» e «integración», cuyo uso ha prevalecido, no son de Leibnitz, sino de Jean Bernoulli; Leibnitz no se servía en este sentido más que de las palabras «suma» y «sumación», que tienen el inconveniente de parecer indicar una asimilación entre la operación de que se trata y la formación de una suma aritmética; por lo demás, decimos solo parecer, ya que es muy cierto que la diferencia esencial de estas dos operaciones no ha podido escapar realmente a Leibnitz); esa es la operación inversa de la diferenciación, puesto que reconstituye la suma a partir de sus elementos infinitesimales, mientras que la diferenciación va al contrario de la suma a los elementos, proporcionando el medio de formular la ley de las variaciones instantáneas de una cantidad cuya expresión está dada.
Así, desde que se trata de indefinido, la noción de suma aritmética ya no es aplicable, y es menester recurrir a la de integración para suplir a esta imposibilidad de «numerar» los elementos infinitesimales, imposibilidad que, bien entendido, resulta de su naturaleza misma y no de una imperfección cualquiera por nuestra parte. Podemos destacar de pasada que, en lo que concierne a la aplicación a las magnitudes geométricas, que es por lo demás, en el fondo, la verdadera razón de ser de todo el cálculo infinitesimal, hay un método de medida que es completamente diferente del método habitual fundado sobre la división de una magnitud en porciones definidas, método del que ya hemos hablado precedentemente a propósito de las «unidades de medida». En suma, éste último equivale siempre a sustituir de alguna manera el continuo por el discontinuo, por ese «troceado» en porciones iguales de la magnitud de la misma especie tomada como unidad (O por una fracción de esta magnitud, pero poco importa, ya que esta fracción constituye entonces una unidad secundaria más pequeña, que sustituye a la primera en el caso donde la división por ésta no se hace exactamente, para obtener un resultado exacto o al menos más aproximado), a fin de poder aplicar directamente el número a la medida de las magnitudes continuas, lo que no puede hacerse efectivamente más que alterando así su naturaleza para hacerla asimilable, por así decir, a la del número. Al contrario, el otro método respeta, tanto como es posible, el carácter propio del continuo, considerándole como una suma de elementos, no ya fijos y determinados, sino esencialmente variables y capaces de decrecer, en su variación, por debajo de toda magnitud asignable, y que permiten por eso mismo hacer variar la cantidad espacial entre límites tan próximos como se quiera, lo que es, teniendo en cuenta la naturaleza del número que a pesar de todo no puede ser cambiada, la representación menos imperfecta que se pueda dar de una variación continua.
Estas observaciones permiten comprender de una manera más precisa en qué sentido puede decirse, como lo hemos hecho al comienzo, que los límites de lo indefinido no pueden ser alcanzados nunca por un procedimiento analítico, o, en otros términos, que lo indefinido es, no inagotable absolutamente y de cualquier manera que sea, pero sí al menos inagotable analíticamente. Naturalmente, debemos considerar como analítico, a este respecto, el procedimiento que consistiría, para reconstruir un todo, en tomar sus elementos distinta y sucesivamente: tal es el procedimiento de formación de una suma aritmética, y es en eso, precisamente, en lo que la integración difiere esencialmente de ella. Esto es particularmente interesante desde nuestro punto de vista, ya que en eso se ve, por un ejemplo muy claro, lo que son las verdaderas relaciones del análisis y de la síntesis: contrariamente a la opinión corriente, según la cual el análisis sería en cierto modo preparatorio a la síntesis y conduciría a ésta, de suerte que sería siempre menester comenzar por el análisis, incluso cuando uno no entiende quedarse ahí, la verdad es que no se puede llegar nunca efectivamente a la síntesis partiendo del análisis; toda síntesis, en el verdadero sentido de esta palabra, es por así decir algo inmediato, que no es precedido de ningún análisis y que es enteramente independiente de él, como la integración es una operación que se efectúa de un solo golpe y que no presupone en modo alguno la consideración de elementos comparables a los de una suma aritmética; y, como esta suma aritmética no puede dar el medio de alcanzar y de agotar lo indefinido, hay, en todos los dominios, cosas que resisten por su naturaleza misma a todo análisis y cuyo conocimiento no es posible más que por la síntesis únicamente (Aquí y en lo que va a seguir, debe entenderse bien que tomamos los términos «análisis» y «síntesis» en su acepción verdadera y original, que es menester tener buen cuidado de distinguir de aquella, completamente diferente y bastante impropia, en la que se habla corrientemente del «análisis matemático», y según la cual la integración misma, a pesar de su carácter esencialmente sintético, es considerada como formando parte de lo que se llama el «análisis infinitesimal»; por lo demás, es por esta razón por lo que preferimos evitar el empleo de esta última expresión, y servirnos solo de las de «cálculo infinitesimal» y de «método infinitesimal», que al menos no podrían prestarse a ningún equívoco de este género).