====== VERDADERA CONCEPCIÓN DEL PASO AL LÍMITE ======



La consideración del «paso al límite», hemos dicho más atrás, es necesaria, si no a las aplicaciones prácticas del método infinitesimal, si al menos a su justificación teórica, y esta justificación es precisamente la única cosa que nos importa aquí, ya que las simples reglas prácticas de cálculo, que aciertan de una manera en cierto modo «empírica» y sin que se sepa muy bien por qué razón, no tienen evidentemente ningún interés desde nuestro punto de vista. Sin duda, para efectuar los cálculos e incluso para llevarlos hasta su término, no hay ninguna necesidad de plantearse la cuestión de saber si la variable alcanza su límite y cómo puede alcanzarle; pero, sin embargo, si no le alcanza, estos cálculos no tendrían nunca más valor que el de simples cálculos de aproximación. Es cierto que aquí se trata de una aproximación indefinida, puesto que la naturaleza misma de las cantidades infinitesimales permite hacer el error tan pequeño como se quiera, sin que por eso sea posible, no obstante, suprimirle enteramente, puesto que estas mismas cantidades infinitesimales, en su decrecimiento indefinido, no devienen nunca nulas. Se dirá quizás que, prácticamente, eso es el equivalente de un cálculo perfectamente riguroso; pero, además de que no es de eso de lo que se trata para nosotros, esa aproximación indefinida misma ¿puede guardar un sentido si, en los resultados en los que se debe desembocar, no han de considerarse ya variables, sino más bien únicamente cantidades fijas y determinadas? En estas condiciones, desde el punto de vista de los resultados, no se puede salir de esta alternativa: o no se alcanza el límite, y entonces el cálculo infinitesimal no es mas que el menos grosero de los métodos de aproximación; o sí se alcanza el límite, y entonces se trata de un método que es verdaderamente riguroso. Pero hemos visto que el límite, en razón de su definición misma, no puede ser alcanzado nunca exactamente por la variable; ¿cómo pues tendremos el derecho de decir que no obstante puede ser alcanzado? Puede serlo precisamente, no en el curso del cálculo, sino en los resultados, porque, en éstos, no deben figurar más que cantidades fijas y determinadas, como el límite mismo, y ya no variables; así pues, es la distinción de las cantidades variables y de las cantidades fijas, distinción por lo demás propiamente cualitativa, la que es, como ya lo hemos dicho, la única verdadera justificación del rigor del cálculo infinitesimal.
Así, lo repetimos todavía, el límite no puede ser alcanzado en la variación y como término de ésta; no es el último de los valores que debe tomar la variable, y la concepción de una variación continua que desemboca en un «último valor» o en un «último estado» sería tan incomprehensible y contradictoria como la de una serie indefinida que desemboca en un «último término», o como la de la división de un conjunto continuo que desemboca en «últimos elementos». Así pues, el límite no pertenece a la serie de los valores sucesivos de la variable; está fuera de esta serie, y es por eso por lo que hemos dicho que el «paso al límite» implica esencialmente una discontinuidad. Si fuera de otro modo, estaríamos en presencia de una indefinidad que podría ser agotada analíticamente, y eso es lo que no puede tener lugar; pero es aquí donde la distinción que hemos establecido a este respecto cobra toda su importancia, ya que nos encontramos en uno de los casos donde se trata de alcanzar, según la expresión que ya hemos empleado, los límites de una cierta indefinidad; así pues, no es sin razón que la misma palabra de «límite» se encuentra, con otra acepción más especial, en el caso particular que consideramos ahora. El límite de una variable debe limitar verdaderamente, en el sentido general de esta palabra, la indefinidad de los estados o de las modificaciones posibles que conlleva la definición de esta variable; y es justamente por eso por lo que es menester necesariamente que se encuentre fuera de lo que debe limitar así. No podría tratarse de ninguna manera de agotar esta indefinidad por el curso mismo de la variación que la constituye; de lo que se trata en realidad, es de pasar más allá del dominio de esta variación, dominio en el que el límite no se encuentra comprendido, y es este resultado el que se obtiene, no analíticamente y por grados, sino sintéticamente y de un solo golpe, de una manera en cierto modo «súbita» por la que se traduce la discontinuidad que se produce entonces, por el paso de las cantidades variables a las cantidades fijas (A propósito de este carácter «súbito» o «instantáneo», se podrá recordar aquí, a título de comparación con el orden de los fenómenos naturales, el ejemplo de la ruptura de una cuerda que hemos dado más atrás: esta ruptura es también el límite de la tensión, pero no es asimilable de ninguna manera a una tensión a cualquier grado que sea).
El límite pertenece esencialmente al dominio de las cantidades fijas: es por eso por lo que el «paso al límite» exige lógicamente la consideración simultánea, en la cantidad, de dos modalidades diferentes, en cierto modo superpuestas; no es otra cosa entonces que el paso a la modalidad superior, en la que se realiza plenamente lo que, en la modalidad inferior, no existe más que en el estado de simple tendencia, y eso, para emplear la terminología aristotélica, es un verdadero paso de la potencia al acto, lo que ciertamente no tiene nada en común con la simple «compensación de errores» que consideraba Carnot. Por su definición misma, la noción matemática del límite implica un carácter de estabilidad y de equilibrio, carácter que es el de algo permanente y definitivo, y que, evidentemente, no puede ser realizado por las cantidades en tanto que se las considere, en la modalidad inferior, como esencialmente variables; así pues, no puede ser alcanzado nunca gradualmente, sino que lo es inmediatamente por el paso de una modalidad a la otra, que es el único que permite suprimir todas las etapas intermediarias, porque comprende y envuelve sintéticamente toda su indefinidad, y por el que lo que no era y no podría ser más que una tendencia en las variables se afirma y se fija en un resultado real y definido. De otro modo, el «paso al límite» sería siempre un ilogismo puro y simple, ya que es evidente que, en tanto que se permanezca en el dominio de las variables, no puede obtenerse esta fijeza que es lo propio del límite, donde las cantidades que eran consideradas precedentemente como variables han perdido precisamente ese carácter transitorio y contingente. El estado de las cantidades variables es, en efecto, un estado eminentemente transitorio y en cierto modo imperfecto, puesto que no es más que la expresión de un «devenir», cuya idea la hemos encontrado igualmente en el fondo de la noción de la indefinidad misma, que, por lo demás, está estrechamente ligada a ese estado de variación. Así el cálculo no puede ser perfecto, en el sentido de verdaderamente acabado, más que cuando ha llegado a resultados en los cuales ya no entra nada variable ni indefinido, sino sólo cantidades fijas y definidas; y ya que hemos visto como eso mismo es susceptible de aplicarse, por transposición analógica, más allá del orden cuantitativo, que ya no tiene entonces más que un valor de símbolo, y hasta en lo que concierne directamente a la «realización» metafísica del ser.