Si volvemos de nuevo a la segunda de las dos significaciones matemáticas del cero, es decir, al cero considerado como representando lo indefinidamente pequeño, lo que importa retener bien ante todo, es que el dominio de éste comprende, en la sucesión doblemente indefinida de los números, todo lo que está más allá de nuestros medios de evaluación de un cierto sentido, del mismo modo que el dominio de lo indefinidamente grande comprende, en esta misma sucesión, todo lo que está más allá de estos mismos medios de evaluación en el otro sentido. Dicho esto, evidentemente no ha lugar hablar de números «más pequeños que cero», como tampoco de números «más grandes que el infinito»; y eso es aún más inaceptable, si es posible, cuando el cero, en su otra significación, representa pura y simplemente la ausencia de toda cantidad, ya que una cantidad que fuera más pequeña que nada es propiamente inconcebible. No obstante, esto es lo que se ha querido hacer, en un cierto sentido, al introducir en matemáticas la consideración de los números llamados negativos, y al olvidar, por un efecto del «convencionalismo» moderno, que estos números, en el origen, no son nada más que la indicación del resultado de una sustracción realmente imposible, por la cual un número más grande debería ser sustraído de un número más pequeño; por lo demás, ya hemos hecho observar que todas las generalizaciones o las extensiones de la idea de número no provienen de hecho más que de la consideración de operaciones imposibles desde el punto de vista de la aritmética pura; pero esta concepción de los números negativos y las consecuencias que entraña requieren aún algunas otras explicaciones. Hemos dicho precedentemente que la sucesión de los números enteros se forma a partir de la unidad, y no a partir de cero; en efecto, dada la unidad, toda la sucesión de los números se deduce de ella de tal suerte que se puede decir que toda la sucesión está ya implicada y contenida en principio en esta unidad inicial (Del mismo modo, por transposición analógica, toda multiplicidad indefinida de las posibilidades de manifestación está contenida en principio y «eminentemente» en el Ser puro o la Unidad metafísica), mientras que de cero evidentemente no se puede sacar ningún número. El paso de cero a la unidad no puede hacerse de la misma manera que el paso de la unidad a los demás números, o de un número cualquiera al número siguiente, y, en el fondo, suponer posible este paso del cero a la unidad, es haber establecido ya implícitamente la unidad (Eso aparece de una manera completamente evidente si, conformemente a ley general de formación de la sucesión de los números, se representa este paso por la fórmula 0+1=1). En fin, poner cero al comienzo de la sucesión de los números, como si fuera el primero de esta sucesión, no puede tener más que dos significaciones: o bien es admitir realmente que cero es un número, contrariamente a lo que hemos establecido, y, por consiguiente, que puede tener con los demás números relaciones del mismo orden que las relaciones de estos números entre sí, lo que no puede ser, puesto que cero multiplicado o dividido por un número cualquiera da siempre cero; o bien es un simple artificio de notación, que no puede sino entrañar confusiones más o menos inextricables. De hecho, el empleo de este artificio no se justifica apenas si no es para permitir la introducción de la notación de los números negativos, y, si el uso de esta notación ofrece sin duda algunas ventajas para la comodidad de los cálculos, consideración completamente «pragmática» que no está en litigio aquí y que carece incluso de importancia verdadera bajo nuestro punto de vista, es fácil darse cuenta de que no deja de presentar, por otra parte, graves inconvenientes lógicos. La primera de todas las dificultades a las que da lugar a este respecto, es precisamente la concepción de las cantidades negativas como «menores que cero», que Leibnitz colocaba entre las afirmaciones que no son más que «toleranter verae», pero que, en realidad, como lo decíamos hace un momento, está desprovista de toda significación. «Adelantar que una cantidad negativa aislada es menor que cero, ha dicho Carnot, es cubrir la ciencia de las matemáticas, que debe ser la de la evidencia, de una nube impenetrable, y comprometerse en un laberinto de paradojas a cual más extravagante» («Nota sobre las cantidades negativas» colocada al final de las Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, p 173). Sobre este punto, podemos atenernos a este juicio, que no es sospechoso y que ciertamente no tiene nada de exagerado; por lo demás, en el uso que se hace de esta notación de los números negativos, no se debería olvidar nunca que en eso no se trata de nada más que de una simple convención. La razón de esta convención es la siguiente: cuando una sustracción es aritméticamente imposible, su resultado es no obstante susceptible de una interpretación en el caso en el que esta sustracción se refiera a magnitudes que pueden ser contadas en dos sentidos opuestos, como, por ejemplo, las distancias medidas en una línea, o los ángulos de rotación alrededor de un punto fijo, o también los tiempos contados, a partir de un cierto instante, hacia el futuro o hacia el pasado. De ahí la representación geométrica que se da habitualmente de estos números negativos: si se considera una recta entera, indefinida en los dos sentidos, y no ya solo una semirrecta como lo habíamos hecho precedentemente, las distancias sobre esta recta se cuentan como positivas o como negativas según sean recorridas en un sentido o en el otro, y se fija un punto tomado como origen, a partir del cual las distancias se llaman positivas de un lado y negativas del otro. A cada punto de la recta corresponderá un número que será la medida de su distancia al origen, y que, para simplificar el lenguaje, podemos llamar su coeficiente; el origen mismo, en este caso también, tendrá naturalmente como coeficiente cero, y el coeficiente de cualquier otro punto de la recta será un número afectado por el signo + o ?, signo que, en realidad, indicará simplemente de qué lado está situado ese punto en relación al origen. Sobre una circunferencia, se podrá distinguir de igual modo un sentido de rotación positivo y un sentido de rotación negativo, y contar, a partir de una posición inicial del radio, los ángulos como positivos o como negativos según se describan en uno u otro de estos dos sentidos, lo que daría lugar a unas precisiones análogas. Para atenernos a la consideración de la recta, dos puntos equidistantes del origen, por una y otra parte de éste, tendrán por coeficiente el mismo número, pero con signos contrarios, y un punto más alejado que otro del origen tendrá naturalmente como coeficiente, en todos los casos, un número más grande; por esto se ve que, si un número n es más grande que otro número m, es absurdo decir, como se hace ordinariamente, que ?n es más pequeño que ?m, puesto que representa al contrario una distancia más grande. Por lo demás, el signo colocado así delante de un número no puede modificarse realmente de ninguna manera desde el punto de vista de la cantidad, puesto que no representa nada que se refiera a la medida de las distancias en sí mismas, sino solo la dirección en la que son recorridas estas distancias, dirección que es un elemento de orden propiamente cualitativo y no cuantitativo (Ver El Reino de la Cantidad y los Signos de los Tiempos, cap IV — Uno podría preguntarse si no hay como una suerte de recuerdo inconsciente de este carácter cualitativo en el hecho de que los matemáticos designen todavía a veces los números tomados «con su signo», es decir, considerados como positivos o negativos, bajo el nombre de «números cualificados», aunque, por lo demás, no parezcan dar ningún sentido muy claro a esta expresión). Por otra parte, puesto que la recta es indefinida en los dos sentidos, uno es llevado a considerar un indefinido positivo y un indefinido negativo, que se representan respectivamente por los signos “+ infinito” y “- infinito”, y que se designan comúnmente por las expresiones absurdas de «más infinito» y «menos infinito»; uno se pregunta lo que podría ser en efecto un infinito negativo, o también lo que podría subsistir si de algo o incluso de nada, puesto que los matemáticos consideran el cero como nada, se restara el infinito; éstas son cosas que basta enunciar en lenguaje claro para ver inmediatamente que están desprovistas de toda significación. Es menester agregar también que seguidamente uno es llevado, en particular en el estudio de la variación de las funciones, a considerar lo indefinido negativo como confundiéndose con lo indefinido positivo, de tal suerte que un móvil que parte del origen y que se aleja constantemente de él en el sentido positivo volvería de nuevo hacia éste por el lado negativo, o inversamente, si su movimiento se prosiguiera durante un tiempo indefinido, de donde resulta que la recta, o lo que se considera como tal, debe ser en realidad una línea cerrada, aunque indefinida. Por lo demás, se podría mostrar que las propiedades de la recta en el plano son enteramente análogas a las de un gran círculo o círculo diametral sobre la superficie de una esfera, y que así el plano y la recta pueden ser asimilados a una esfera y a un gran círculo de radio indefinidamente grande, y por consecuencia de curvatura indefinidamente pequeña, siendo asimilados entonces los círculos ordinarios del plano a los círculos pequeños de esta misma esfera; por lo demás, esta asimilación, para devenir rigurosa, supone un «paso al límite», ya que es evidente que, por grande que devenga el radio en su crecimiento indefinido, se tiene siempre una esfera y no un plano, y que esta esfera solo tiende a confundirse con el plano, y sus grandes círculos con rectas, de tal suerte que el plano y la recta son aquí límites, de la misma manera que el círculo es el límite de un polígono regular cuyo número de lados crece indefinidamente. Sin insistir más en ello, solo haremos observar que se perciben en cierto modo directamente, por las consideraciones de este género, los límites mismos de la indefinidad espacial; así pues, si se quiere guardar alguna apariencia de lógica, ¿cómo se puede hablar todavía de infinito en todo esto? Al considerar los números positivos y negativos como acabamos de decirlo, la serie de los números toma la forma siguiente: “- infinito” ………………-4, 3, 2, l, 0, 1, 2, 3, 4,………“+ infinito”, donde el orden de estos números es el mismo que el de los puntos correspondientes sobre la recta, es decir, de los puntos que tienen estos mismos números por coeficientes respectivos, lo que, por lo demás, es la marca del origen real de la serie así formada. Esta serie, aunque sea igualmente indefinida en los dos sentidos, es completamente diferente de la que hemos considerado precedentemente y que comprendía los números enteros y sus inversos: es simétrica, no ya en relación a la unidad, sino en relación al cero, que corresponde al origen de las distancias; y, si dos números equidistantes de este término central le reproducen también, ya no es por multiplicación como en el caso de los números inversos, sino por adición «algebraica», es decir, efectuada teniendo en cuenta sus signos, lo que aquí es aritméticamente una sustracción. Por otra parte, esta nueva serie no es, como lo era la precedente, indefinidamente creciente en un sentido e indefinidamente decreciente en el otro, o al menos, si se pretende considerarla así, no es más que por una «manera de hablar» de lo más incorrecto, que es la misma por la que se consideran los números «más pequeños que cero»; en realidad, esta serie es indefinidamente creciente en los dos sentidos igualmente, puesto que lo que comprende por una parte y por otra del cero central, es la misma sucesión de los números enteros; lo que se llama el «valor absoluto», expresión bastante singular también, debe tomarse en consideración sólo bajo la relación puramente cuantitativa, y los signos positivos o negativos no cambian nada a este respecto, puesto que, en realidad, no expresan otra cosa que las relaciones de «situación» que hemos explicado hace un momento. Lo indefinido negativo no es pues asimilable de ninguna manera a lo indefinidamente pequeño; al contrario, como ocurre con lo indefinido positivo, es indefinidamente grande; la única diferencia, que no es de orden cuantitativo, es que se desarrolla en otra dirección, lo que es perfectamente concebible cuando se trata de magnitudes espaciales o temporales, pero totalmente desprovisto de sentido para magnitudes aritméticas, para las cuales un tal desarrollo es necesariamente único, y no puede ser otro que el de la serie de los números enteros. Entre las otras consecuencias extravagantes o ilógicas de la notación de los números negativos, señalaremos también la consideración, introducida por la resolución de las ecuaciones algebraicas, de las cantidades llamadas «imaginarias», que Leibnitz, como lo hemos visto, colocaba, de la misma manera que las cantidades infinitesimales, entre lo que llamaba «ficciones bien fundadas»; estas cantidades, o supuestas tales, se presentan como raíces de los números negativos, lo que, en realidad, no responde tampoco más que a una imposibilidad pura y simple, puesto que, aunque un número sea positivo o negativo, su cuadrado es siempre necesariamente positivo en virtud de las reglas de la multiplicación algebraica. Incluso si, dando a esas cantidades «imaginarias» otro sentido, se pudiera lograr hacerlas corresponder a algo real, lo que no examinaremos aquí, es bien cierto, en todo caso, que su teoría y su aplicación a la geometría analítica, tal como son expuestas por los matemáticos actuales, no aparecen apenas más que como un verdadero tejido de confusiones e incluso de absurdidades, y como el producto de una necesidad de generalizaciones excesivas y completamente artificiales, que no retrocede siquiera ante el enunciado de proposiciones manifiestamente contradictorias; algunos teoremas sobre las «asíntotas del círculo», por ejemplo, bastarían ampliamente para probar que no exageramos nada. Se podrá decir, es cierto, que en eso no se trata de geometría propiamente dicha, sino solamente, como en la consideración de la «cuarta dimensión» del espacio (Cf El Reino de la Cantidad y los Signos de los Tiempos, cap XVIII y XXIII ), de álgebra traducida a lenguaje geométrico; pero lo que es grave, precisamente, es que, porque una tal traducción, así como su sentido inverso, sea posible y legítima en una cierta medida, se la quiera extender también a los casos en los que ya no puede significar nada, ya que eso es en efecto el síntoma de una extraordinaria confusión en las ideas, al mismo tiempo que la extrema conclusión de un «convencionalismo» que llega hasta perder el sentido de toda realidad.