El decrecimiento indefinido de los números no puede concluir en un «número nulo» así como su crecimiento indefinido no puede concluir tampoco en un «número infinito», y eso por la misma razón, puesto que uno de esos números debería ser el inverso del otro; en efecto, según lo que hemos dicho precedentemente al respecto de los números inversos, que están igualmente alejados de la unidad en las dos sucesiones, creciente una y decreciente la otra, que tienen como punto de partida común esta unidad, y que, como hay necesariamente tantos términos en una de las sucesiones como en la otra, los últimos términos, que serían el «número infinito» y el «número nulo», deberían, si existieran, estar igualmente alejados de la unidad, y por consiguiente ser inversos el uno del otro (Esto sería representado, según la notación ordinaria, por la fórmula 0xinfinito =1; pero, de hecho, la forma 0/0 es también, como , una «forma indeterminada», y se puede escribir 0xinfinito = n, designando por n un número cualquiera, lo que, por lo demás, muestra ya que, en realidad, 0 e infinito no pueden ser considerados como representando números determinados. Por lo demás, volveremos sobre este punto. Por otra parte, hay que destacar que 0 x infinito corresponde, al respecto de los «límites de sumas» del cálculo integral, a lo que es al respecto de los «límites de relaciones» del cálculo diferencial). En estas condiciones, si el signo “infinito” no es en realidad más que el símbolo de las cantidades indefinidamente crecientes, el signo 0 debería lógicamente poder ser tomado como símbolo de las cantidades indefinidamente decrecientes, a fin de expresar en la notación la simetría que existe, como lo hemos dicho, entre las unas y las otras; pero, desafortunadamente, este signo 0 tiene ya una significación diferente, ya que sirve originariamente para designar la ausencia de toda cantidad, mientras que el signo ? no tiene ningún sentido real que corresponda a eso. Eso es una nueva fuente de confusiones, como las que se producen a propósito de las «cantidades evanescentes», y sería menester, para evitarlas, crear para las cantidades indefinidamente decrecientes otro símbolo diferente del cero, puesto que estas cantidades tienen como carácter no poder anularse nunca en su variación; en todo caso, con la notación empleada actualmente por los matemáticos, parece casi imposible que tales confusiones no se produzcan. Si insistimos sobre esta observación de que cero, en tanto que representa la ausencia de toda cantidad, no es un número y no puede ser considerado como tal, aunque eso pueda parecer bastante evidente a aquellos que nunca han tenido la ocasión de tener conocimiento de algunas discusiones, es porque, desde que se admite la existencia de un «número nulo», que debe ser el «más pequeño de los números», se es conducido forzosamente a suponer correlativamente, como su inverso, un «número infinito», en el sentido del «más grande de los números». Por consiguiente, si se acepta este postulado de que cero es un número, la argumentación en favor del «número infinito» puede ser después perfectamente lógica (De hecho, es sobre este postulado donde reposa en gran parte la argumentación de L Conturat en su tesis De l'infini mathématique); pero es precisamente este postulado el que debemos rechazar, ya que, si las consecuencias que se deducen de él son contradictorias, y hemos visto que la existencia del «número infinito» lo es efectivamente, es porque, en sí mismo, implica ya contradicción. En efecto, la negación de la cantidad no puede ser asimilada de ninguna manera a una cantidad; la negación del número o de la magnitud no puede constituir en ningún sentido ni a ningún grado una especie del número o de la magnitud; pretender lo contrario, es sostener que, según la expresión de Leibnitz, algo puede ser «equivalente a una especie de su contradictorio», y otro tanto valdría decir a continuación que la negación de la lógica es la lógica misma. Por consiguiente, es contradictorio hablar de cero como de un número, o suponer un «cero de magnitud» que sería todavía una magnitud, de donde resultaría forzosamente la consideración de tantos ceros distintos como diferentes especies de magnitudes hay; en realidad, no puede haber más que el cero puro y simple, que no es otra cosa que la negación de la cantidad, bajo cualquier modo en que ésta se considere (De eso resulta también que cero no puede ser considerado como un límite en el sentido matemático de esta palabra, ya que un límite verdadero es siempre, por definición, una cantidad; por lo demás, es evidente que una cantidad que decrece indefinidamente no tiene más límite que una cantidad que crece indefinidamente, o que al menos la una y la otra no pueden tener otros límites que los que resultan necesariamente de la naturaleza misma de la cantidad como tal, lo que es una acepción bastante diferente de esta misma palabra de «límite», aunque, por lo demás, entre estos dos sentidos haya una cierta relación que indicaremos más adelante; matemáticamente, no se puede hablar más que del límite de la relación de dos cantidades indefinidamente crecientes o de dos cantidades indefinidamente decrecientes, y no del límite de esas cantidades mismas). Desde que tal es el verdadero sentido del cero aritmético tomado «en rigor», es evidente que este sentido no tiene nada en común con la noción de las cantidades indefinidamente decrecientes, que son siempre cantidades, y no una ausencia de cantidad, como tampoco con algo que sería en cierto modo intermediario entre cero y la cantidad, lo que sería todavía una concepción perfectamente ininteligible, y que, en su orden, recordaría bastante la «virtualidad» leibnitzniana de la que hemos dicho algunas palabras precedentemente. Podemos volver ahora a la otra significación que el cero tiene de hecho en la notación habitual, a fin de ver cómo han podido introducirse las confusiones de que hemos hablado: hemos dicho precedentemente que un número puede ser considerado en cierto modo como prácticamente indefinido desde que ya no nos es posible expresarle o representarle distintamente de una manera cualquiera; un tal número, cualquiera que sea, en el orden creciente, podrá ser simbolizado sólo por el signo “infinito”, en tanto que éste representa lo indefinidamente grande; por consiguiente, en eso no se trata de un número determinado, sino más bien de todo un dominio, lo que, por lo demás, es necesario para que sea posible considerar, en lo indefinido, desigualdades e incluso órdenes diferentes de magnitud. En la notación matemática, falta otro símbolo para representar el dominio que corresponde a ese en el orden decreciente, es decir, lo que se puede llamar el dominio de lo indefinidamente pequeño; pero, como un número perteneciente a este dominio es, de hecho, desdeñable en los cálculos, se ha tomado el hábito de considerarle como prácticamente nulo, aunque eso no sea más que una simple aproximación que resulta de la imperfección inevitable de nuestros medios de expresión y de medida, y es sin duda por esta razón por lo que se ha llegado a simbolizarle por el mismo signo 0 que representa por otra parte la ausencia rigurosa de toda cantidad. Es solo en este sentido como este signo 0 deviene en cierto modo simétrico del signo “infinito”, y como pueden ser colocados respectivamente en las dos extremidades de la serie de los números, tal como la hemos considerado precedentemente como extendiéndose indefinidamente, por los números enteros y por sus inversos, en los dos sentidos creciente y decreciente. Esta serie se presenta entonces bajo la forma siguiente: 0……1/4,1/3,1/2,1,2,3,4,……infinito; pero es menester observar que 0 e “infinito” no representan dos números determinados, que terminarían la serie en los dos sentidos, sino dos dominios indefinidos, en los que, al contrario, no podría haber últimos términos, en razón de su indefinidad misma; por lo demás, es evidente que el cero no podría ser aquí ni un «número nulo», que sería un último término en el sentido decreciente, ni una negación o una ausencia de toda cantidad, que no puede tener ningún lugar en esta serie de cantidades numéricas. En esta misma serie, como lo hemos explicado precedentemente, dos números equidistantes de la unidad central son inversos o complementarios el uno del otro, y por consiguiente reproducen la unidad por su multiplicación: , de suerte que, para las dos extremidades de la serie, seríamos llevados a escribir así 0 x infinito = 1; pero, debido al hecho de que los signos 0 e “infinito”, que son los factores de éste último producto, no representan números determinados, se sigue que la expresión 0 x infinito misma constituye un símbolo de indeterminación o lo que se llama una «forma indeterminada», y se debe escribir entonces 0 x infinito = n, siendo n un número cualquiera (Ver la precedente nota sobre este tema); por eso no es menos cierto que, de todos modos, somos llevados así a lo finito ordinario, puesto que las dos indefinidades opuestas se neutralizan por así decir la una a la otra. Se ve también muy claramente aquí, una vez más, que el símbolo ? no representa el Infinito, ya que el Infinito, en su verdadero sentido, no puede tener ni opuesto ni complementario, y no puede entrar en correlación con nada, como tampoco el cero, en cualquier sentido que se le entienda, puede entrar en correlación con la unidad o con otro número cualquiera, ni con ninguna cosa particular de cualquier orden que sea, cuantitativo o no; puesto que es el Todo universal y absoluto, contiene tanto el No Ser como el Ser, de suerte que el cero mismo, desde que no se considera como una pura nada, debe ser considerado también, necesariamente, como comprendido en el Infinito. Al hacer alusión aquí al No Ser, tocamos otra significación del cero, completamente diferente de las que acabamos de considerar, y que, por lo demás, es la más importante desde el punto de vista de su simbolismo metafísico; pero, a este respecto, para evitar toda confusión entre el símbolo y lo que representa, es necesario precisar bien que el Cero metafísico, que es el No Ser, no es ya más el cero de cantidad como la Unidad metafísica, que es el Ser, no es la unidad aritmética; lo que se designa así con estos términos no puede serlo más que por transposición analógica, puesto que, desde que uno se coloca en lo Universal, se está evidentemente más allá de todo dominio especial como el de la cantidad. Por lo demás, no es en tanto que representa lo indefinidamente pequeño como el cero, por una tal transposición, puede ser tomado como símbolo del No Ser, sino en tanto que, según su acepción matemática más rigurosa, representa la ausencia de cantidad, que, en efecto, simboliza en su orden la posibilidad de no manifestación, del mismo modo que la unidad simboliza la posibilidad de manifestación, puesto que es el punto de partida de la multiplicidad indefinida de los números como el Ser es el principio de toda manifestación (Sobre este tema, ver Los Estados múltiples del ser, cap III ). Esto nos conduce a observar también que, de cualquier manera que se considere el cero, no podría, en todo caso, ser tomado por una pura nada, que no corresponde metafísicamente más que a la imposibilidad, y que, por lo demás, lógicamente, no puede ser representada por nada. Eso es muy evidente cuando se trata de lo indefinidamente pequeño; es cierto que en eso no se trata, si se quiere, más que de un sentido derivado, debido, como lo decíamos hace un momento, a una suerte de asimilación aproximada de una cantidad desdeñable para nosotros a la ausencia de toda cantidad; pero, en lo que concierne a la ausencia misma de cantidad, lo que es nulo bajo este aspecto puede muy bien no serlo bajo otros aspectos, como se ve claramente por un ejemplo como el del punto, que, al ser indivisible, es por eso mismo inextenso, es decir, espacialmente nulo (Es por eso por lo que, así como lo hemos dicho más atrás, el punto no puede ser considerado de ninguna manera como constituyendo un elemento o una parte de la extensión), pero que, así como lo hemos expuesto en otra parte, por eso no es menos el principio mismo de toda la extensión (Ver El Simbolismo de la Cruz, cap XVI ). Por lo demás, es verdaderamente extraño que los matemáticos tengan generalmente el hábito de considerar el cero como una pura nada, y que no obstante les sea imposible no mirarle al mismo tiempo como dotado de una potencia indefinida, puesto que, colocado a la derecha de otra cifra llamada «significante», contribuye a formar la representación de un número que, por la repetición de ese mismo cero, puede crecer indefinidamente, como ocurre, por ejemplo, en el caso del número diez y de sus potencias sucesivas. Si realmente el cero no fuera más que una pura nada, eso no podría ser así, e incluso, a decir verdad, no sería entonces mas que un signo inútil, enteramente desprovisto de todo valor efectivo; así pues, en las concepciones matemáticas modernas, hay en eso todavía otra inconsecuencia a agregar a todas las que ya hemos tenido la ocasión de señalar hasta aquí.