Cuando Leibnitz dio la primera exposición del método infinitesimal (Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, qu( nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, en las Acta eruditorum de Leipzig, 1864), e incluso también en otros varios trabajos que siguieron (De Geometría recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, 1886. — Los trabajos siguientes se refieren todos a la solución de problemas particulares), insistió sobre todo en los usos y las aplicaciones del nuevo cálculo, lo que era bastante conforme a la tendencia moderna de atribuir más importancia a las aplicaciones prácticas de la ciencia que a la ciencia misma como tal; por lo demás, sería difícil decir si esta tendencia existía verdaderamente en Leibnitz, o si, en esta manera de presentar su método, no había más que una suerte de concesión por su parte. Sea como sea, para justificar un método, no basta ciertamente mostrar las ventajas que puede tener sobre los demás métodos anteriormente admitidos, y las comodidades que puede proporcionar prácticamente para el cálculo, ni tampoco los resultados que ha podido dar de hecho; es lo que los adversarios del método infinitesimal no dejaron de hacer valer, y son solo sus objeciones las que decidieron a Leibnitz a explicarse sobre los principios, e incluso sobre los orígenes de su método. Por lo demás, sobre este último punto, es muy posible que nunca lo haya dicho todo, pero eso importa poco en el fondo, ya que, muy frecuentemente, las causas ocasionales de un descubrimiento no son más que circunstancias bastante insignificantes en sí mismas; en todo caso, todo lo que hay que retener para nosotros en las indicaciones que da sobre este punto (En su correspondencia primero, y después en Historia et origo Calculi differencialis, 1714), es que ha partido de la consideración de las diferencias «asignables» que existen entre los números, para pasar de ahí a las diferencias «inasignables» que pueden ser concebidas entre las magnitudes geométricas en razón de su continuidad, y que daba incluso a este orden una gran importancia, como siendo en cierto modo «exigido por la naturaleza de las cosas». De ahí resulta que las cantidades infinitesimales, para él, no se presentan naturalmente a nosotros de una manera inmediata, sino sólo como un resultado del paso de la variación de la cantidad discontinua a la de la cantidad continua, y de la aplicación de la primera a la medida de la segunda. Ahora bien, ¿cuál es exactamente la significación de estas cantidades infinitesimales cuyo empleo se ha reprochado a Leibnitz sin haber definido previamente lo que entendía por ellas?, y, ¿le permitía esa significación considerar su cálculo como absolutamente riguroso, o sólo, al contrario, como un simple método de aproximación? Responder a estas dos preguntas, sería resolver por eso mismo las objeciones más importantes que se le hayan dirigido; pero, desafortunadamente, él nunca lo hizo muy claramente, e incluso sus diversas respuestas no parecen siempre perfectamente conciliables entre sí. Por lo demás, a este propósito, es bueno destacar que Leibnitz tenía, de una manera general, el hábito de explicar diferentemente las mismas cosas según las personas a quienes se dirigía; ciertamente, no somos nosotros quienes le reprochamos esta manera de actuar, irritante solamente para los espíritus sistemáticos, ya que, en principio, con eso no hacía más que conformarse a un precepto iniciático y más particularmente rosacruciano, según el cual conviene hablar a cada uno su propio lenguaje; solamente que a veces le ocurría que le aplicaba bastante mal. En efecto, si es evidentemente posible revestir una misma verdad de diferentes expresiones, entiéndase bien que eso debe hacerse sin deformarla ni menguarla nunca, y que es menester abstenerse siempre cuidadosamente de toda manera de hablar que pudiera dar lugar a concepciones falsas; eso es lo que Leibnitz no ha sabido hacer en muchos casos (En lenguaje rosacruciano, tanto más todavía que el fracaso de sus proyectos de «characteristica universalis», se diría que eso prueba que si tenía alguna idea teórica de lo que es el «don de lenguas», estaba muy lejos de haberle recibido efectivamente). Así pues, lleva la «acomodación» hasta parecer dar a veces la razón a aquellos que no han querido ver en su cálculo más que un método de aproximación, ya que le ocurre presentarle como no siendo otra cosa que una suerte de abreviado del «método de exhaustión» de los antiguos, propio para facilitar los descubrimientos, pero cuyos resultados deben ser después verificados por ese método si se quiere dar de ellos una demostración rigurosa; y, sin embargo, es muy cierto que ese no era el fondo de su pensamiento, y que, en realidad, veía en su método mucho más que un simple expediente destinado a abreviar los cálculos. Leibnitz declara frecuentemente que las cantidades infinitesimales no son más que «incomparables», pero, en lo que concierne al sentido preciso en el que debe entenderse esta palabra, le ha ocurrido dar de ella una explicación no solo poco satisfactoria, sino incluso muy deplorable, ya que con ello sólo podía proporcionar armas a sus adversarios, que, por lo demás, no dejaron de servirse de ellas; en eso tampoco ha expresado ciertamente su verdadero pensamiento, y podemos ver en ello otro ejemplo, aún más grave que el precedente, de esa «acomodación» excesiva que hace sustituir una expresión «adaptada» de la verdad por puntos de vista erróneos. En efecto, Leibnitz escribió esto: «Aquí no hay necesidad de tomar el infinito rigurosamente, sino sólo como cuando se dice en óptica que los rayos del sol vienen de un punto infinitamente alejado y así son estimados paralelos. Y cuando hay varios grados de infinito o de infinitamente pequeño, es como el globo de la tierra se estima como un punto respecto a la distancia de las estrellas fijas, y como una bola que manejamos es todavía un punto en comparación con el semidiámetro del globo de la tierra, de suerte que la distancia a las estrellas fijas es como un infinito del infinito en relación al diámetro de la bola. Ya que en lugar de infinito o de infinitamente pequeño, se toman cantidades tan grandes y tan pequeñas como sea menester para que el error sea menor que el error dado, de suerte que no se difiere del estilo de Arquímedes más que en las expresiones que son más directas en nuestro método, y más conformes al arte de inventar» (Mémoire de M G G Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul différentiel, en el Journal de Trevoux, 1701). No se dejó de hacer observar a Leibnitz que, por pequeño que sea el globo de la tierra en relación al firmamento, o un grano de arena en relación al globo de la tierra, por eso no son menos cantidades fijas y determinadas, y que, si una de estas cantidades puede ser considerada como prácticamente desdeñable en comparación con la otra, en eso no se trata, no obstante, más que de una simple aproximación; él respondió que sólo había querido «evitar las sutilezas» y «hacer el razonamiento sensible a todo el mundo» (Carta a Varignon, 2 de febrero de 1702), lo que confirma en efecto nuestra interpretación, y lo que, además, es ya como una manifestación de la tendencia «vulgarizadora» de los sabios modernos. Lo que es bastante extraordinario, es que haya podido escribir después: «Al menos no había la menor evidencia que debiera hacer juzgar que yo entendía una cantidad muy pequeña en verdad, pero siempre fija y determinada», a lo que agrega: «Además, ya había escrito hace algunos años a M Bernoulli de Groningue que los infinitos e infinitamente pequeños podían ser tomados por ficciones, semejantes a las raíces imaginarias (Las raíces imaginarias son las raíces de los números negativos; hablaremos más delante de la cuestión de los números negativos y de las dificultades lógicas a las que da lugar), sin que eso debiera causar perjuicio a nuestro cálculo, puesto que esas ficciones son útiles y están fundadas en realidad» (Carta a Varignon, 14 de abril de 1702). Por lo demás, parece que no haya visto nunca exactamente en qué era defectuosa la comparación de la que se había servido, ya que la reprodujo también en los mismos términos una decena de años más tarde (Memoria ya citada más atrás, en las Acta Eruditorum de Leipzig, 1712); pero, puesto que al menos declara expresamente que su intención no ha sido presentar las cantidades infinitesimales como determinadas, debemos concluir de ello que, para él, el sentido de esa comparación se reduce a esto: un grano de arena, aunque no es infinitamente pequeño, puede no obstante, sin inconveniente apreciable, ser considerado como tal en relación a la tierra, y así no hay necesidad de considerar infinitamente pequeños «en rigor», que uno puede incluso, si se quiere, no considerar más que como ficciones; pero, entiéndase como se quiera, una tal consideración no es por eso menos manifiestamente impropia para dar del cálculo infinitesimal otra idea, ciertamente insuficiente a los ojos de Leibnitz mismo, que la de un simple cálculo de aproximación.