Para Leibnitz, la justificación del «paso al límite» consiste en suma en que el caso particular de las «cantidades evanescentes», como él dice, debe, en virtud de la continuidad, entrar en un cierto sentido en la regla general; y, por lo demás, esas cantidades evanescentes no pueden considerarse como « nadas absolutas», o como puros ceros, ya que, siempre en razón de la misma continuidad, guardan entre sí una relación determinada, y generalmente diferente de la unidad, en el instante mismo en el que se desvanecen, lo que supone que son todavía verdaderas cantidades, aunque «inasignables» en relación a las cantidades ordinarias (Para Leibnitz, 0/0=1 , porque, dice, «una nada equivale a la otra»; pero, como, por otra parte, se tiene 0xn=0, y eso cualquiera que sea el numero n, es evidente que puede escribirse también 0/0=1, y es por eso por lo que esta expresión 0/0 se considera generalmente como representando lo que se llama una «forma indeterminada»). No obstante, si las cantidades evanescentes, o, lo que equivale a lo mismo, las cantidades infinitesimales, no son «nadas absolutas», y eso incluso cuando se trata de los diferenciales de órdenes superiores al primero, deben ser consideradas como «nadas relativas», es decir, que, aunque guardan el carácter de verdaderas cantidades, pueden y deben incluso ser desdeñadas al respecto de las cantidades ordinarias, con las cuales son «incomparables» (La diferencia entre esto y la comparación del grano de arena está en que, desde que se habla de «cantidades evanescentes», eso supone necesariamente que se trata de cantidades variables, y ya no de cantidades fijas y determinadas, por pequeñas que se las suponga); pero, multiplicadas por cantidades «infinitas», o incomparablemente más grandes que las cantidades ordinarias, reproducen cantidades ordinarias, lo que no podría ser si no fueran absolutamente nada. Por las definiciones que hemos dado precedentemente, se puede ver que el hecho de que la consideración de la relación entre las cantidades evanescentes permanezca determinada se refiere al cálculo diferencial, y que el hecho de que la multiplicación de estas mismas cantidades evanescentes por cantidades «infinitas» de cantidades ordinarias se refiere al cálculo integral. En todo esto, la dificultad está en admitir que unas cantidades que no son absolutamente nulas deban ser tratadas sin embargo como nulas en el cálculo, lo que corre el riesgo de dar la impresión de que no se trata más que de una simple aproximación; a este respecto todavía, Leibnitz parece invocar a veces la «ley de continuidad», por la cual el «caso límite» se encuentra reducido a la regla general, como el único postulado que exige su método; pero este argumento es muy poco claro, y es menester volver más bien a la noción de los «incomparables», como él mismo lo hace con frecuencia, para justificar la eliminación de las cantidades infinitesimales en los resultados del cálculo. En efecto, Leibnitz considera como iguales, no solo las cantidades cuya diferencia es nula, sino también aquellas cuya diferencia es incomparable con esas cantidades mismas; es sobre esta noción de los «incomparables» donde se apoya para él, no solo la eliminación de las cantidades infinitesimales, que desaparecen así ante las cantidades ordinarias, sino también la distinción de los diferentes órdenes de cantidades infinitesimales o de diferenciales, puesto que las cantidades de cada uno de estos órdenes son incomparables con las del precedente, así como las del primer orden lo son con las cantidades ordinarias, pero sin que se llegue nunca a «nadas absolutas». «Llamo magnitudes incomparables, dice Leibnitz, a aquellas de las que una, multiplicada por cualquier número finito que sea, no podría exceder a la otra, de la misma manera que Euclides lo ha tomado en su quinta definición del quinto libro» (Carta al marqués del Hospital, 14-24 de junio de 1695). Por lo demás, en eso no hay nada que indique si esta definición debe entenderse de cantidades fijas y determinadas o de cantidades variables; pero se puede admitir que, en toda su generalidad, debe aplicarse indistintamente a uno y otro caso: toda la cuestión sería saber entonces si dos cantidades fijas, por diferentes que sean en la escala de las magnitudes, pueden considerarse alguna vez como realmente «incomparables», o si no son tales más que relativamente a los medios de medida de que disponemos. Pero no hay lugar a insistir aquí sobre este punto, puesto que Leibnitz mismo ha declarado que este caso no es el de los diferenciales (Carta ya citada a Varignon, 2 de febrero de 1702), de donde es menester concluir, no solo que la comparación del grano de arena era manifiestamente errónea en sí misma, sino también que no respondía en el fondo, en su propio pensamiento, a la verdadera noción de los «incomparables», al menos en tanto que esta noción debe aplicarse a las cantidades infinitesimales. No obstante, algunos han creído que el cálculo infinitesimal no podría hacerse perfectamente riguroso más que a condición de que las cantidades infinitesimales puedan considerarse como nulas, y, al mismo tiempo, han pensado equivocadamente que un error podía suponerse nulo desde que podía suponerse tan pequeño como se quiera; equivocadamente, decimos, ya que eso equivale a admitir que una variable, como tal, puede alcanzar su límite. He aquí, por lo demás, lo que Carnot dice a este respecto: «Hay personas que creen haber establecido suficientemente el principio del análisis infinitesimal cuando han hecho este razonamiento: es evidente, dicen, y confesado por todo el mundo que los errores a los que los procedimientos del análisis infinitesimal darían lugar, si es que los hay, siempre podrían suponerse tan pequeños como se quiera; es evidente también que todo error que se está seguro de suponer tan pequeño como se quiera es nulo, ya que, puesto que puede suponérsele tan pequeño como se quiera, puede suponérsele cero; por consiguiente, los resultados del análisis infinitesimal son rigurosamente exactos. Este razonamiento, plausible a primera vista, no obstante no es justo, ya que es falso decir que, porque se está en disposición de hacer un error tan pequeño como se quiera, se puede por eso hacerle absolutamente nulo… Uno se encuentra en la alternativa necesaria de cometer un error, por pequeño que quiera suponerle, o de caer sobre una fórmula que no enseña nada, y tal es precisamente el núcleo de la dificultad en el análisis infinitesimal» (Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, p 36). Es cierto que una fórmula en la que entra una relación que se presenta bajo la forma 0/0 «no enseña nada», y se puede decir incluso que no tiene ningún sentido por sí misma; no es sino en virtud de una convención, por lo demás justificada, como se puede dar un sentido a esta forma 0/0 considerándola como un símbolo de indeterminación (Ver la nota precedente sobre este tema); pero esta indeterminación misma hace que la relación, tomada bajo esta forma, pueda ser igual a no importa qué, mientras que, al contrario, en cada caso particular, debe conservar un valor determinado: es la existencia de este valor determinado lo que alega Leibnitz (Con la diferencia de que, para él, la relación 0/0 no es indeterminada, sino siempre igual a 1, así como lo hemos dicho más atrás, mientras que el valor de que se trata difiere en cada caso), y este argumento es, en sí mismo, perfectamente inatacable (Cf Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, pp 45-46: «Si los incrementos se reducen al estado de puros ceros, ya no tienen ninguna significación. Lo suyo no es ser rigurosamente nulos, sino indefinidamente decrecientes, sin poder confundirse nunca con cero, en virtud del principio general de que una variable nunca puede coincidir con su límite»). Únicamente, es menester reconocer que la noción de las «cantidades evanescentes», según la expresión de Lagrange, tiene «el gran inconveniente de considerar las cantidades en el estado en que, por así decir, dejan de ser cantidades»; pero, contrariamente a lo que pensaba Leibnitz, no hay necesidad de considerarlas precisamente en el instante en que se desvanecen, ni de admitir que puedan desvanecerse verdaderamente, ya que, en ese caso, dejarían efectivamente de ser cantidades. Por lo demás, esto supone esencialmente que no hay «infinitamente pequeño» tomado «en rigor», ya que este «infinitamente pequeño», o al menos lo que se llamaría así adoptando el lenguaje de Leibnitz, no podría ser más que cero, del mismo modo que un «infinitamente grande», entendido en el mismo sentido, no podría ser más que el «número infinito»; pero, en realidad, cero no es un número, y no hay más «cantidad nula» que «cantidad infinita». El cero matemático, en su acepción estricta y rigurosa, no es más que una negación, al menos bajo el aspecto cuantitativo, y no se puede decir que la ausencia de cantidad constituye aún una cantidad; ese es un punto sobre el que vamos a volver enseguida para desarrollar más completamente las diversas consecuencias que resultan de él. En suma, la expresión de «cantidades evanescentes» tiene sobre todo el defecto de prestarse a un equívoco, y hacer creer que las cantidades infinitesimales se consideran como cantidades que se anulan efectivamente, ya que, a menos de cambiar el sentido de las palabras, es difícil comprender que «desvanecerse», cuando se trata de cantidades, puede querer decir otra cosa que anularse. En realidad, estas cantidades infinitesimales, entendidas como cantidades indefinidamente decrecientes, lo que es su verdadera significación, no pueden llamarse nunca «evanescentes» en el sentido propio de esta palabra, y, ciertamente, hubiera sido preferible no introducir esta noción, que, en el fondo, es afín a la concepción que Leibnitz se hacía de la continuidad, y que, como tal, implica inevitablemente el elemento de contradicción que es inherente al ilogismo de esta concepción misma. Ahora bien, si un error, aunque pueda hacerse tan pequeño como se quiera, no puede devenir nunca absolutamente nulo, ¿cómo podrá ser verdaderamente riguroso el cálculo infinitesimal?; y, si de hecho el error es prácticamente desdeñable, ¿será menester concluir de ello que este cálculo se reduce a su simple método de aproximación, o al menos, como lo ha dicho Carnot, de «compensación»? Ésta es una cuestión que tendremos que resolver a continuación; pero, puesto que hemos sido llevados a hablar aquí del cero y de la pretendida «cantidad nula», vale más tratar primero este tema, cuya importancia, como se verá, está muy lejos de ser desdeñable.