El pensamiento que Leibnitz expresa de la manera más constante, aunque no lo afirma siempre con la misma fuerza, y aunque incluso a veces, pero excepcionalmente, parece no querer pronunciarse categóricamente a ese respecto, es que, en el fondo, las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas no son más que ficciones; pero, agrega, son «ficciones bien fundadas», y, con ello no entiende simplemente que son útiles para el cálculo (Es en esta consideración de la utilidad práctica donde Carnot ha creído encontrar una justificación suficiente; es evidente que, de Leibnitz a él, la tendencia «pragmatista» de la ciencia moderna se había acentuado ya enormemente), o incluso para hacer «encontrar verdades reales», aunque le ocurre insistir igualmente sobre esta utilidad; sino que repite constantemente que esas ficciones están «fundadas en la realidad», que tienen «fundamentun in re», lo que implica evidentemente algo más que un valor puramente utilitario; y, en definitiva, para él, este valor mismo debe explicarse por el fundamento que esas ficciones tienen en la realidad. En todo caso, para que el método sea seguro, estima que basta considerar, no cantidades infinitas e infinitamente pequeñas en el sentido riguroso de estas expresiones, puesto que este sentido riguroso no corresponde a realidades, sino cantidades tan grandes o tan pequeñas como se quiera, o como sean necesarias para que el error sea hecho más pequeño que cualquier cantidad dada; todavía sería menester examinar si es cierto que, como declara, este error es nulo por sí mismo, es decir, si esta manera de considerar el cálculo infinitesimal le da un fundamento perfectamente riguroso, pero tendremos que volver más tarde sobre esta cuestión. Sea lo que sea de este último punto, los enunciados donde figuran las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas entran para él en la categoría de las aserciones que, dice, no son más que «toleranter verae», o lo que se llamaría (en español) «pasables», y que tienen necesidad de ser «rectificadas» por la explicación que se da de ellas, del mismo modo que cuando se consideran las cantidades negativas como «más pequeñas que cero», y que en muchos otros casos donde el lenguaje de los geómetras implica «una cierta manera de hablar figurada y críptica» (Memoria ya citada, en las Acta Eruditorum de Leipzig, 1712); esta última palabra parecería ser una alusión al sentido simbólico y profundo de la geometría, pero esto es algo muy diferente de lo que Leibnitz tiene en vista, y quizás no hay en eso, como ocurre bastante frecuentemente en él, más que el recuerdo de algún dato esotérico más o menos mal comprendido. En cuanto al sentido en el que es menester entender que las cantidades infinitesimales son «ficciones bien fundadas», Leibnitz declara que «los infinitos e infinitamente pequeños están tan fundados que todo se hace en la geometría, e incluso en la naturaleza, como si fueran perfectas realidades» (Carta ya citada a Varignon, de 2 de febrero de 1702); para él, en efecto, todo lo que existe en la naturaleza implica de alguna manera la consideración del infinito, o al menos de lo que él cree poder llamar así: «La perfección del análisis de los transcendentes o de la geometría donde entre la consideración de algún infinito, dice, sería sin duda la más importante a causa de la aplicación que se puede hacer de él en las operaciones de la naturaleza, que hace entrar el infinito en todo lo que hace» (Carta al marqués de l'Hospital, 1693); pero quizás se deba sólo, es cierto, a que no podemos tener de ellas ideas adecuadas, y porque ahí entran elementos que no percibimos distintamente. Si ello es así, sería menester no tomar demasiado literalmente aserciones como ésta por ejemplo: «Puesto que nuestro método es propiamente esa parte de la matemática general que trata del infinito, es lo que hace que se tenga una gran necesidad de él al aplicar las matemáticas a la física, porque el carácter del Autor infinito entra ordinariamente en las operaciones de la naturaleza» (Considération sur la différence qu'il y a entre l'Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes, en el Journal des Sçavans, 1694). Pero, si incluso Leibnitz entiende por esto sólo que la complejidad de las cosas naturales rebasa incomparablemente los límites de nuestra percepción distinta, por ello no es menos cierto que las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas deben tener su «fundamentum in re»; y este fundamento, que se encuentra en la naturaleza de las cosas, al menos según la manera en la que es concebido por él, no es otra cosa que lo que él llama la «ley de continuidad», que tendremos que examinar un poco más adelante, y que considera, con razón o sin ella, como no siendo en suma más que un caso particular de una cierta «ley de justicia», que se vincula a su vez a la consideración del orden y de la armonía, y que encuentra igualmente su aplicación toda vez que debe observarse una cierta simetría, así como ocurre, por ejemplo, en las combinaciones y permutaciones. Ahora, si las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas no son más que ficciones, y admitiendo incluso que éstas estén realmente «bien fundadas», uno puede preguntarse esto: ¿por qué emplear tales expresiones, que, incluso si pueden considerarse como «toleranter verae», por ello no son menos incorrectas? En eso hay algo que presagia ya, se podría decir, el «convencionalismo» de la ciencia actual, aunque con la notable diferencia de que éste ya no se preocupa de ninguna manera de saber si las ficciones a las que recurre están fundadas o no, o, según otra expresión de Leibnitz, si pueden ser interpretadas «sano sensu», y ni tan siquiera si tienen una significación cualquiera. Puesto que se puede prescindir de esas cantidades ficticias, y contentarse con considerar en su lugar cantidades que se pueden hacer simplemente tan grandes y tan pequeñas como se quiera, y que, por esta razón pueden llamarse indefinidamente grandes e indefinidamente pequeñas, sin duda habría valido más comenzar por ahí, y evitar así introducir ficciones que, cualquiera que pueda ser su «fundamentum in re», no son en suma de ninguna utilidad efectiva, no solo para el cálculo, sino para el método infinitesimal mismo. Las expresiones de «indefinidamente grande» e «indefinidamente pequeño», o, lo que equivale a lo mismo, pero es quizás todavía más preciso, de «indefinidamente creciente» e «indefinidamente decreciente», no sólo tienen la ventaja de ser las únicas que son escrupulosamente exactas; tienen también la de mostrar claramente que las cantidades a las que se aplican no pueden ser más que cantidades variables y no determinadas. Como lo ha dicho con razón un matemático, «lo infinitamente pequeño no es una cantidad muy pequeña, que tiene un valor efectivo, susceptible de determinación; su carácter es ser eminentemente variable y poder tomar un valor más pequeño que todas aquellas que se quisieran precisar; estaría mucho mejor nombrado como indefinidamente pequeño» (Ch. de Freycinet, De l'Analyse infinitésimale, pp 21-22. — El autor agrega: «Pero habiendo prevalecido la primera denominación (la de infinitamente pequeño) en el lenguaje, hemos creído deber conservarla». Ese es ciertamente un escrúpulo muy excesivo, ya que el uso no puede bastar para justificar las incorrecciones y las impropiedades del lenguaje, y, si nadie se atreviera nunca a elevarse contra abusos de este género, uno no podría siquiera buscar introducir en los términos más exactitud y precisión que la que implica su empleo ordinario). El empleo de estos términos habría evitado muchas dificultades y muchas discusiones, y no habría nada de sorprendente en eso, pues no se trata de una simple cuestión de palabras, sino del reemplazo de una idea justa por una idea falsa, de una realidad por una ficción; no habría permitido, concretamente, tomar las cantidades infinitesimales por cantidades fijas y determinadas, ya que la palabra «indefinido» conlleva siempre por sí misma una idea de «devenir», como lo decíamos más atrás, y por consiguiente de cambio o, cuando se trata de cantidades, de variación; y, si Leibnitz se hubiera servido de ella habitualmente, sin duda que no se hubiera dejado arrastrar tan fácilmente a la enojosa comparación del grano de arena. Además, reducir «infinite parva ad indefinite parva» hubiera sido en todo caso más claro que reducirles «ad incomparabiliter parva»; la precisión habría ganado con ello, sin que la exactitud hubiera tenido nada que perder, muy al contrario. Las cantidades infinitesimales son ciertamente «incomparables» a las cantidades ordinarias, pero eso podría entenderse de más de una manera, y efectivamente se ha entendido bastante frecuentemente en otros sentidos que el que hubiera sido menester; es mejor decir que son «inasignables», según otra expresión de Leibnitz, ya que este término parece no poder entenderse rigurosamente más que de cantidades que son susceptibles de devenir tan pequeñas como se quiera, es decir, más pequeñas que toda cantidad dada, y a las que, por consiguiente, no se puede «asignar» ningún valor determinado, por pequeño que sea, y ese es en efecto el sentido de los «indefinite parva». Desafortunadamente, es casi imposible saber si, en el pensamiento de Leibnitz, «incomparable» e «inasignable» son verdadera y completamente sinónimos; pero, en todo caso, es cierto al menos que una cantidad propiamente «inasignable», en razón de la posibilidad de decrecimiento indefinido que conlleva, es por eso mismo «incomparable» con toda cantidad dada, e incluso, para extender esta idea a los diferentes órdenes infinitesimales, con toda cantidad en relación a la cual pueda decrecer indefinidamente, mientras que esa misma cantidad se considera como poseyendo una fijeza al menos relativa. Si hay un punto sobre el cual todo el mundo puede en suma ponerse de acuerdo fácilmente, incluso sin profundizar más las cuestiones de principios, es que la noción de indefinidamente pequeño, desde el punto de vista puramente matemático al menos, basta perfectamente para el análisis infinitesimal, y los «infinitistas» mismos lo reconocen sin gran esfuerzo (Ver concretamente L Couturat, De l'infini mathématique, p 265, nota: «Se puede constituir lógicamente el cálculo infinitesimal únicamente sobre la noción de lo indefinido…» — Es cierto que el empleo de la palabra «lógicamente» implica aquí una reserva, ya que, para el autor, se opone a «racionalmente», lo que, por lo demás, es una terminología bastante extraña; la confesión no es menos interesante de retener por ello). Así pues, a este respecto, uno puede atenerse a una definición como la de Carnot: «¿Qué es una cantidad llamada infinitamente pequeña en matemáticas? Nada más que una cantidad que se puede hacer tan pequeña como se quiera, sin que se esté obligado por eso a hacer variar aquellas cuya relación se busca» (Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, p 7, nota; ibid, p 20. — El título de esta obra está muy poco justificado, ya que, en realidad, no se encuentra en ella la menor idea de orden metafísico). Pero, en lo que concierne a la significación verdadera de las cantidades infinitesimales, toda la cuestión no se limita a eso: para el cálculo, importa poco que los infinitamente pequeños no sean más que ficciones, puesto que uno puede contentarse con la consideración de los indefinidamente pequeños, que no plantea ninguna dificultad lógica; y, por lo demás, desde que, por las razones metafísicas que hemos expuesto al comienzo, no podemos admitir un infinito cuantitativo, ya sea un infinito de magnitud o de pequeñez (La celebérrima concepción de los «dos infinitos» de Pascal es metafísicamente absurda, y no es más que el resultado de una confusión del infinito con lo indefinido, donde se toma éste en los dos sentidos opuestos de las magnitudes crecientes y decrecientes), ni ningún infinito de un orden determinado y relativo cualquiera, es muy cierto que no pueden ser en efecto más que ficciones y nada más; pero, si estas ficciones han sido introducidas, con razón o sin ella, en el origen del cálculo infinitesimal, es porque, en la intención de Leibnitz, debían corresponder no obstante a algo, por defectuosa que sea la manera en que lo expresaban. Puesto que es de los principios de lo que nos ocupamos aquí, y no de un procedimiento de cálculo reducido en cierto modo a sí mismo, lo que carecería de interés para nós, debemos preguntarnos pues, cuál es justamente el valor de esas ficciones, no sólo desde el punto de vista lógico, sino también desde el punto de vista ontológico, si están tan «bien fundadas» como lo creía Leibnitz, y si podemos decir con él que son «toleranter verae» y aceptarlas al menos como tales, «modo sano sensu intelligantur»; para responder a estas cuestiones, nos será menester examinar más de cerca su concepción de la «ley de continuidad», puesto que es en ésta donde Leibnitz pensaba encontrar el «fundamentum in re» de los infinitamente pequeños.